exemple de calcul d`intégrale avec changement de variable

Cependant, ce n`est pas quelque chose qui est fait terriblement souvent, mais c`est une compétence utile d`avoir au cas où il ne se posent quelque part. Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons du mal à charger des ressources externes sur notre site Web. Utilisez la modification des variables $ (x, y) = cvarf (cvarfv, cvarsv) = (cvarsv (1-cvarfv ^ 2), cvarfv) $. Ex 15. Ainsi, une façon de résoudre ce problème consiste à résoudre l`équation eqref{thechangevar} pour $x $ et $y $ pour déterminer la fonction $ cvarf $. Dans le cas où vous avez du mal à croire cette formule, nous pourrions motiver le résultat comme suit. Puisque l`intégrale sur $ dlr ^ * $ est une intégrale dans $ cvarfv $ et $ cvarsv $, nous devons écrire $x-y $ en termes de $ cvarfv $ et $ cvarsv $. Depuis begin{align *} detjacm{cvarf} (cvarfv, cvarsv) = left | begin{Array}{CC}-2 cvarfvcvarsv & 1-cvarfv ^ 2 1 & 0 end{Array} right | = 0-(1-cvarfv ^ 2) = cvarfv ^ 2-1, end{align *} le facteur d`expansion de zone est la valeur absolue begin{align *} left | detjacm{cvarf} (cvarfv, cvarsv) right | = | cvarfv ^ 2-1 | = 1-cvarfv ^ 2. Tout assembler, l`intégrale est begin{align *} iint_dlr frac{y ^ 2} {x} DX , dy & =int_1 ^ 3 int_{-1} ^ 1 frac{cvarfv ^ 2} {cvarsv (1-cvarfv ^ 2)} (1-cvarfv ^ 2) dcvarfv, dcvarsv & = int_1 ^ 3 int_{-1} ^ 1 frac{cvarfv ^ 2} {cvarsv} dcvarfv , dcvarsv & = int_1 ^ 3 frac{cvarfv ^ 3} {3 cvarsv} bigg | _ {cvarfv =-1} ^ {cvarfv = 1} dcvarsv & = int_1 ^ 3 frac{2}{3cvarsv} dcvarsv & = frac{2}{3} log | cvarsv | bigg | _1 ^ 3 = frac{2}{3} (log 3-log 1) = frac{2}{3}log 3. Notre intégrale est begin{align *} int_dlr (x ^ 2-y ^ 2) DX , dy & = left. Si vous êtes vraiment observateur, vous remarquerez peut-être que $ cvarf $ flips la région $ dlr ^ * $ over comme il le mappe sur $ dlr $; ce retournement correspond au fait que $ det jacm{cvarf} (cvarfv, cvarsv) $ est négatif.

Comme nous l`avons vu, parfois changer de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées est utile, et cela modifie trop les variables. Bien que souvent la raison de l`évolution des variables est de nous faire une intégrale que nous pouvons faire avec les nouvelles variables, une autre raison pour changer les variables est de convertir la région dans une région plus agréable de travailler avec. Dans ce cas, le Jacobian est défini en termes de déterminant d`une matrice 3x3. Confusément, la matrice, le déterminant de la matrice, et la valeur absolue du déterminant sont tous appelés le Jacobian par divers auteurs. Si vous faites une substitution, vous devrez également modifier vos limites d`intégration. Ici, la Bijectivité de Φ {displaystyle Phi} est cruciale. À l`occasion, nous devrons également connaître la gamme de (u ) et/ou (v ) pour chacune des nouvelles équations que nous obtenons de la transformation. Donc, encore une fois, nous avons eu une équation un peu plus simple, mais pas tout à fait aussi agréable que les deux premiers.

En fait, lorsque la substitution est bien choisie (en exploitant par exemple les symétries et les contraintes du système), ces équations sont beaucoup plus faciles à résoudre que les équations de Newton dans les coordonnées cartésiennes. Cependant, nous pouvons réécrire la deuxième équation comme x y (x + y) = 880 {displaystyle XY (x + y) = 880}. C`est une formule beaucoup plus facile à vérifier. Donc, cela signifie que vous devez résoudre un problème inverse. Habituellement, on écrira x = Φ (y) {displaystyle x = Phi (y)} pour indiquer le remplacement de la variable x {displaystyle x} par la variable y {displaystyle y} en substituant la valeur de Φ {displaystyle Phi} à y {displaystyle y} pour chaque occurrence de x { DisplayStyle x}. Cependant, il est important de se rappeler d`où cela $r $ provenaient, surtout si vous devez calculer un changement général de variables, comme dans les exemples suivants. Le rectangle de droite est situé entre les valeurs correspondantes $ arcsin (0.

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